수론에서
가우스 합(Gauss sum, Gaussian sum)
G(\chi) (
\tau(\chi),\ \tau_\chi)는 디리클레 지표에 대한 일종의 합으로, 곱셈적 함수인
\chi에 대한 문제를 덧셈적 함수인
e(\, \cdot\, )에 대한 문제로 바꿔준다.
목차
1. 정의
2. 성질
3. 이차 가우스 합
4. 보기
법
q에서의 디리클레 지표
\chi에 대해 가우스 합
G(\chi)은 다음과 같이 정의된다.
G(\chi)=\sum_{a=1}^q\chi(a)e^{2\pi ia/q}=\sum_{a=1}^q\chi(a)e\left(\frac aq\right)여기서
e는
e(x)=\exp(2\pi ix)와 같이 정의되는 함수이다.
구조적으로 보면, 가우스 합은 유한군
(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times 위에서 정의된 함수
\chi의
푸리에 변환으로 해석할 수 있다.
가우스 합은
\displaystyle c_\chi(n)=\sum_{a=1}^q\chi(a)e\left({an\over q}\right)에서
n=1인 특별한 경우이다. 비슷한 형태를 띠고 있는 라마누잔의 합은 주 지표
\chi_0에 대해
c_{\chi_0}(n)으로 정의된다.
이하에서
\chi,\chi_1,\chi_2는 각각 법
q,q_1,q_2에 대한 디리클레 지표이다.
(n,q)=1일 때 \chi(n)G(\bar\chi)=\sum_{a=1}^q \bar\chi(a)e\left({an\over q}\right) 특히, \overline{G(\chi)}=\chi(-1)G(\bar\chi)G(\chi)=G(\chi_1)G(\chi_2)\chi_1(q_2)\chi_2(q_1)\chi가 원시지표일 때, \chi(n)G(\bar\chi)=\sum_{a=1}^q \bar\chi(a)e\left({an\over q}\right) 특히, |G(\chi)|=\sqrt q
3. 이차 가우스 합 ✎
이차 가우스 합(quadratic Gauss sum) G(k;n)는 정수 k,n에 대해 다음과 같이 정의된다.
G(k;n)=\sum_{r=1}^n e^{2\pi ikr^2n}
- 이차 가우스 합
G(k;n) - 라마누잔의 합
c_q(n)
